Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

Anterior Siguiente
7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
c) f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty
lim⁡x→+∞e−x2=0 \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0 lim⁡x→−∞e−x2=0 \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0 Por lo tanto ff tiene una asíntota horizontal en y=0y=0.
3) Calculamos f′(x)f'(x): 

f′(x)=−2xe−x2 f'(x) = -2xe^{-x^2}

4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

−2xe−x2=0 -2xe^{-x^2} = 0 La única solución a esta ecuación es x=0x = 0 porque la función exponencial nunca es cero. Por lo tanto, x=0x = 0 es nuestro punto crítico.

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<0x < 0
b) x>0x > 0
6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<0x < 0 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. b) Para x>0x > 0,
f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente.

Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-19%2018:10:32_7719195.png
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Fernando
22 de mayo 13:29
2024-05-22%2013:29:47_6327173.png
0 Responder
Flor
PROFE
22 de mayo 17:31
@Fernando Gran gráfico jaja 🤣🤣🤣🤣
0 Responder